长城杯2021 Crypto writeup

#!/usr/bin/env python3

from Crypto.Util.number import *
from secret import flag, v1, v2, m1, m2


def enc_1(val):
    p, q = pow(v1, (m1+1))-pow((v1+1), m1), pow(v2, (m2+1))-pow((v2+1), m2)
    assert isPrime(p) and isPrime(q) and (p*q).bit_length() == 2048 and q < p < q << 3
    return pow(val, 0x10001, p*q)


def enc_2(val):
    assert val.bit_length() < 512
    while True:
        fac = [getPrime(512) for i in range(3)]
        if isPrime(((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1):
            n = fac[0]*fac[1]*fac[2]*(((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1)
            break
    c = pow(val, 0x10001, n)
    return (c, n, ((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1)


if __name__ == "__main__":
    assert flag[:5] == b'flag{'
    plain1 = bytes_to_long(flag[:21])
    plain2 = bytes_to_long(flag[21:])
    print(enc_1(plain1))
    print(enc_2(plain2))

'''
15808773921165746378224649554032774095198531782455904169552223303513940968292896814159288417499220739875833754573943607047855256739976161598599903932981169979509871591999964856806929597805904134099901826858367778386342376768508031554802249075072366710038889306268806744179086648684738023073458982906066972340414398928411147970593935244077925448732772473619783079328351522269170879807064111318871074291073581343039389561175391039766936376267875184581643335916049461784753341115227515163545709454746272514827000601853735356551495685229995637483506735448900656885365353434308639412035003119516693303377081576975540948311
(40625981017250262945230548450738951725566520252163410124565622126754739693681271649127104109038164852787767296403697462475459670540845822150397639923013223102912674748402427501588018866490878394678482061561521253365550029075565507988232729032055298992792712574569704846075514624824654127691743944112075703814043622599530496100713378696761879982542679917631570451072107893348792817321652593471794974227183476732980623835483991067080345184978482191342430627490398516912714451984152960348899589532751919272583098764118161056078536781341750142553197082925070730178092561314400518151019955104989790911460357848366016263083, 43001726046955078981344016981790445980199072066019323382068244142888931539602812318023095256474939697257802646150348546779647545152288158607555239302887689137645748628421247685225463346118081238718049701320726295435376733215681415774255258419418661466010403928591242961434178730846537471236142683517399109466429776377360118355173431016107543977241358064093102741819626163467139833352454094472229349598479358367203452452606833796483111892076343745958394932132199442718048720633556310467019222434693785423996656306612262714609076119634814783438111843773649519101169326072793596027594057988365133037041133566146897868269, 39796272592331896400626784951713239526857273168732133046667572399622660330587881579319314094557011554851873068389016629085963086136116425352535902598378739)
'''

flag分成两段加密，前半段交给enc_1函数加密，后半段交给enc_2函数加密。

def enc_1(val):
    p, q = pow(v1, (m1+1))-pow((v1+1), m1), pow(v2, (m2+1))-pow((v2+1), m2)
    assert isPrime(p) and isPrime(q) and (p*q).bit_length() == 2048 and q < p < q << 3
    return pow(val, 0x10001, p*q)

p和q的素数生成过程是相同的。使用两组秘密数v1，v2和m1，m2，使得v1^{(m1+1)-(v1+1)}m1和v2^{(m2+1)-(v2+1)}m2是素数。

p，q的比特长度均小于2048（应该更小）。我们可以通过这个条件来枚举v和m，求出该范围内的所有素数，然后再从中选取任意两个素数，求n，长度若为2048bits，则尝试解密。

from Crypto.Util.number import long_to_bytes
from gmpy2 import invert, is_prime
from tqdm import tqdm

primes = []

for v1v2 in tqdm(range(500)):
    for m1m2 in range(500):
        prime = v1v2**(m1m2+1) - (v1v2+1)**m1m2
        if prime.bit_length() > 2048: break
        if is_prime(prime):
            primes.append(prime)

val1 = 15808773921165746378224649554032774095198531782455904169552223303513940968292896814159288417499220739875833754573943607047855256739976161598599903932981169979509871591999964856806929597805904134099901826858367778386342376768508031554802249075072366710038889306268806744179086648684738023073458982906066972340414398928411147970593935244077925448732772473619783079328351522269170879807064111318871074291073581343039389561175391039766936376267875184581643335916049461784753341115227515163545709454746272514827000601853735356551495685229995637483506735448900656885365353434308639412035003119516693303377081576975540948311

for i in range(len(primes)):
    for j in range(i, len(primes)):
        pq = primes[i]*primes[j]
        if len(bin(pq)[2:]) == 2048:
            try:
                d = invert(0x10001, (primes[i]-1)*(primes[j]-1))
                dec = long_to_bytes(pow(val1, d, pq))
                if b'flag' in dec:
                    print(dec)
            except ValueError:
                pass
  #flag1 = flag{8102c552-3d78-4a

def enc_2(val):
    assert val.bit_length() < 512
    while True:
        fac = [getPrime(512) for i in range(3)]
        if isPrime(((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1):
            n = fac[0]*fac[1]*fac[2]*(((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1)
            break
    c = pow(val, 0x10001, n)
    return (c, n, ((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1)

n是由三个未知素数构成的，我们将他们表示为f0,f1,f2,f3。

f0=fac[0],f1=fac[1],f2=fac[2],f3=((fac[0]+fac[1]+fac[2]) << 1) - 1

由于flag位数小于512位，而f3的位数不小于513位，尝试分解f3，得到四个因子，求欧拉函数phi，解密即可。

from Crypto.Util.number import *
from tqdm import *
import gmpy2
c = 40625981017250262945230548450738951725566520252163410124565622126754739693681271649127104109038164852787767296403697462475459670540845822150397639923013223102912674748402427501588018866490878394678482061561521253365550029075565507988232729032055298992792712574569704846075514624824654127691743944112075703814043622599530496100713378696761879982542679917631570451072107893348792817321652593471794974227183476732980623835483991067080345184978482191342430627490398516912714451984152960348899589532751919272583098764118161056078536781341750142553197082925070730178092561314400518151019955104989790911460357848366016263083
n = 43001726046955078981344016981790445980199072066019323382068244142888931539602812318023095256474939697257802646150348546779647545152288158607555239302887689137645748628421247685225463346118081238718049701320726295435376733215681415774255258419418661466010403928591242961434178730846537471236142683517399109466429776377360118355173431016107543977241358064093102741819626163467139833352454094472229349598479358367203452452606833796483111892076343745958394932132199442718048720633556310467019222434693785423996656306612262714609076119634814783438111843773649519101169326072793596027594057988365133037041133566146897868269
f3 = 39796272592331896400626784951713239526857273168732133046667572399622660330587881579319314094557011554851873068389016629085963086136116425352535902598378739
p = [191,193,627383,1720754738477317127758682285465031939891059835873975157555031327070111123628789833299433549669619325160679719355338187877758311485785197492710491]
phi=1
for i in tqdm(p):
    phi*=i-1
d=gmpy2.invert(0x10001,phi)
print(long_to_bytes(gmpy2.powmod(c,d,f3)))
#flag2 = 42-b659-0c96ef827f05

拼接得flag：flag{8102c552-3d78-4a42-b659-0c96ef827f05}