本文主要整理一些测度论基础概念，以供快捷查阅。（可能会持续更新）
文章目录设
{
A
n
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
}
{A_n,n=1,2,...}
{An,n=1,2,...}是一个集合序列，如果对每个
n
=
1
,
2
,
.
.
.
n=1,2,...
n=1,2,...有
A
n
⊂
A
n
+
1
A_nsubset A_{n+1}
An⊂An+1
则称
A
n
A_n
An是非降的，记为
A
n
↑
A_nuparrow
An↑。并把集合
lim
n
→
∞
A
n
=
d
e
f
⋃
n
=
1
∞
A
n
limlimits_{nrightarrowinfty}A_nxlongequal[]{def}bigcup_{n=1}^infty A_n
n→∞limAndef
⋃n=1∞An为它的极限。反之，则称
A
n
A_n
An为非增的，记为
A
n
↓
A_ndownarrow
An↓，并称
lim
n
→
∞
A
n
=
d
e
f
⋂
n
=
1
∞
A
n
limlimits_{nrightarrowinfty}A_nxlongequal[]{def}bigcap_{n=1}^infty A_n
n→∞limAndef
⋂n=1∞An为它的极限。
非降和非增的集合序列统称为单调序列。单调集合序列总有极限。
集合系以空间 X X X中的一些集合为元素组成的集合称为 X X X上的集合系。换句话说，集合系是集合的集合，是空间 X X X的幂集的子集。集合系一般用花体字母表示。
π pi π系如果 X X X上的非空集合系 P mathscr{P} P对交的运算是封闭的，则为** π pi π系**。
半环满足以下条件的
π
pi
π系
D
mathscr{D}
D称为半环：对任意的
A
,
B
∈
D
A,Bin mathscr{D}
A,B∈D且
A
⊃
B
Asupset B
A⊃B，存在有限个两两不交的
{
C
k
∈
D
,
k
=
1
,
.
.
.
,
n
}
{C_kinmathscr{D},k=1,...,n}
{Ck∈D,k=1,...,n}使得
A
∖
B
=
⋃
k
=
1
n
C
k
Asetminus B=bigcup_{k=1}^nC_k
A∖B=k=1⋃nCk
即任意两个集合的差一定能由其中的元素取并得到。
如果非空集合系对并和差的运算是封闭的，那么被称为环。
域/代数满足下列条件的
π
pi
π系
A
mathscr{A}
A称为域：
X
∈
A
A
∈
A
⇒
A
c
∈
A
Xinmathscr{A}\ Ainmathscr{A}Rightarrow A^cinmathscr{A}
X∈AA∈A⇒Ac∈A
简单来讲需要满足两个条件：
域也被称为代数。
定理：半环必是 π pi π系；环必是半环；域必是环。
单调系如果对集合系 M mathscr{M} M中的任何单调序列 { A n , n = 1 , 2 , . . . } {A_n,n=1,2,...} {An,n=1,2,...}均有 lim n → ∞ A n ∈ M limlimits_{nrightarrowinfin}A_ninmathscr{M} n→∞limAn∈M，则把 M mathscr{M} M叫做单调系。
λ lambda λ系集合系
L
mathscr{L}
L称为**
λ
lambda
λ系**，如果它满足下列条件：
X
∈
L
;
A
,
B
∈
L
∧
A
⊃
B
⟹
A
∖
B
∈
L
;
A
n
∈
L
∧
A
n
↑
⟹
⋃
n
=
1
∞
A
n
∈
L
.
Xinmathscr{L};\ A,Binmathscr{L} wedge Asupset BLongrightarrow A setminus B in mathscr{L};\ A_ninmathscr{L} wedge A_nuparrow Longrightarrow bigcup_{n=1}^infty A_n in mathscr{L}.
X∈L;A,B∈L∧A⊃B⟹A∖B∈L;An∈L∧An↑⟹n=1⋃∞An∈L.
解释：需要满足三个条件
满足下列三个条件的集合系
L
mathscr{L}
L称为
σ
sigma
σ域：
X
∈
L
;
A
∈
L
⟹
A
c
∈
L
;
A
n
∈
L
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
⟹
⋃
n
=
1
∞
A
n
∈
L
.
X in mathscr{L}; \ A in mathscr{L} Longrightarrow A^c in mathscr{L}; \ A_n in mathscr{L},n=1,2,... Longrightarrow bigcup_{n=1}^infty A_n in mathscr{L}.
X∈L;A∈L⟹Ac∈L;An∈L,n=1,2,...⟹n=1⋃∞An∈L.
解释：需要满足三个条件
定理： σ sigma σ域是域， λ lambda λ系是单调系， σ sigma σ域是 λ lambda λ系。
定理：一个既是单调系又是域的集合系必是 σ sigma σ域。
定理：一个既是 λ lambda λ系又是 π pi π系的集合系必是 σ sigma σ域。
σ sigma σ域的成员被称为可测集，我们最终是要在 σ sigma σ域上建立测度。非空集合 X X X和集合 X X X的一个 σ sigma σ域 F mathscr{F} F放在一起写成的 ( X , F ) (X,mathscr{F}) (X,F)将称为可测空间。
σ sigma σ环称非空集合系
R
mathscr{R}
R是一个
σ
sigma
σ环，如果：
A
,
B
∈
R
⟹
A
∖
B
∈
R
;
A
n
∈
R
,
n
=
1
,
2
,
.
.
.
⟹
⋃
n
=
1
∞
A
n
∈
R
.
A,Binmathscr{R}Longrightarrow A setminus B in mathscr{R};\ A_n in mathscr{R}, n=1,2,... Longrightarrow bigcup_{n=1}^infty A_n in mathscr{R}.
A,B∈R⟹A∖B∈R;An∈R,n=1,2,...⟹n=1⋃∞An∈R.
一个对可列并运算封闭的环是
σ
sigma
σ环；一个包含
X
X
X的
σ
sigma
σ环是
σ
sigma
σ域。
对于拓扑空间 X X X，以 O mathscr{O} O记其开集系，博雷尔集合系定义为包含 O mathscr{O} O的最小的 σ sigma σ域，其中的集合称为 X X X中的博雷尔集。
