学习来源：《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社
矩阵的奇异值与矩阵的范数、行列式、条件数、特征值等有密切关系。
1. 奇异值与范数的关系矩阵 的谱范数等于 的最大奇异值，即
根据矩阵的奇异值分解定理，由于矩阵 的 Frobenius 范数 是酉不变的，即
因此，有
也就是说，任何一个矩阵的 Frobenius 范数等于该矩阵所有非零奇异值平方和的正平方根。
2. 奇异值与行列式的关系设 是 正方矩阵。由于酉矩阵的行列式的绝对值为 1 ，所以有
当所有的 都不为零，则 是非奇异的；当存在 为零时，则 是奇异的。
对于一个 矩阵 ，以下不等式均成立：
3. 奇异值与条件数的关系对于一个 矩阵 ，其条件数可以利用奇异值定义为
因为 ，所以条件数是一个大于或等于 1 的正数。对于一个奇异矩阵来说，由于至少有一个奇异值 ，因此奇异矩阵的条件数为无穷大；当一个矩阵 的条件数不是无穷大但很大时，称矩阵 是接近奇异的。它的意思是，当矩阵 的条件数很大时，矩阵 的行向量或列向量的线性相关性很强。
对于方程 ， 的奇异值分解为
即矩阵 的最大和最小奇异值分别是矩阵 的最大和最小奇异值的平方，所以
也就是说，矩阵 的条件数是矩阵 的条件数的平方。
4. 奇异值与特征值的关系设 正方对称矩阵 的特征值为 ，奇异值为 ，则
二、奇异值的性质汇总 1. 奇异值服从的等式关系1）矩阵 和其复共轭转置矩阵 具有相同的奇异值。
2）矩阵 的非零奇异值是 或 的非零特征值的正平方根。
3） 0" src="https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csigma%3E%200" /> 是矩阵矩阵 的单奇异值，当且仅当 是 或 的单特征值。
4）若 ，且 是矩阵 的奇异值，则
5）矩阵行列式的绝对值等于矩阵奇异值的乘积，即
6）矩阵 的谱范数等于 的最大奇异值，即 。
7）若 ，则对于矩阵 ，有
8）若 ，则对于矩阵 ，有
9）若 矩阵 非奇异，则
10）若 是 矩阵 的奇异值分解，则 的 Moose-Penrose 逆矩阵
11）若 是 矩阵 的非零奇异值（其中， ），则矩阵 具有 个非零奇异值 和 个零奇异值。
2. 奇异值服从的不等式关系1）若 和 是 矩阵，则对于 ，有
特别地，当 时， 成立。
2）对矩阵 ，有
3）若 和 是 矩阵，则
4）若 的奇异值 ，则
5）若 ，且 和 的奇异值排列为 ， 和 ，则
6）设 矩阵 是去掉 矩阵 的任意一列得到的矩阵，且它们的奇异值都按照非降序排列，则
式中， 。
7）设 矩阵 是去掉 矩阵 的任意一行的到的矩阵，且它们的奇异值按照非降序排列，则
式中， 。
8）矩阵 的最大奇异值满足不等式
