设数列{an}的前n项的和Sn与an的关系是Sn=-an+1-12n，n∈N*．求证：数列{2nan}为等差数列，并求数列{an}的通项；求数列{S

题文

设数列{a_n}的前n项的和S_n与a_n的关系是S_n=-a_n+1-12n，n∈N^*．
（1）求证：数列{2ⁿa_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项；
（2）求数列{S_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，s1=-a1+1-12⇒a1=14…（1分），
n≥2时，由Sn-Sn-1=-an+an-1+12n，
得2nan-2n-1an-1=12，
∴数列{2ⁿa_n}为等差数列，…（3分）
∴2nan=2×a1+(n-1)×12，an=n2n+1．…（6分）
（2）由（1）得Sn=1-n+22n+1，
∴T_n=n-（322+423+…+n+22n+1），①
12Tn=12n-（323+424+…+n+22n+2），②
①-②得12Tn=12n-（34+123+124+…+12n+1-n+22n+2）
=12n-34-18(1-12n-1)1-12+n+22n+2
=12n-1+12n+1+2n+42n+1．…（9分）
∴T_n=n-2+2n+52n．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项的和Sn与an的关.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。