设an=1nsinnπ25，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…S100中，正数的个数是A．25B．50C．75D．100

题文

设a_n=1nsinnπ25，S_n=a₁+a₂+…+a_n，在S₁，S₂，…S₁₀₀中，正数的个数是（ ）A．25B．50C．75D．100 题型：未知 难度：其他题型

答案

由于f（n）=sinnπ25的周期T=50
由正弦函数性质可知，a₁，a₂，…，a₂₄＞0，a₂₅=0，a₂₆，a₂₇，…，a₄₉＜0，a₅₀=0
且sin26π25=-sinπ25，sin27π25=-sin2π25…但是f（n）=1n单调递减
a₂₆…a₄₉都为负数，但是|a₂₆|＜a₁，|a₂₇|＜a₂，…，|a₄₉|＜a₂₄
∴S₁，S₂，…，S₂₅中都为正，而S₂₆，S₂₇，…，S₅₀都为正
同理S₁，S₂，…，s₇₅都为正，S₁，S₂，…，s₇₅，…，s₁₀₀都为正，
故选D

解析

nπ25

考点

据考高分专家说，试题“设an=1nsinnπ25，Sn=a1+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。