数列an中，a1=1，且点在函数f=x+2的图象上．求数列an的通项公式；在数列an中，依次抽取第3，4，6，…

题文

数列a_n中，a₁=1，且点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函数f（x）=x+2的图象上．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式；
（Ⅱ）在数列a_n中，依次抽取第3，4，6，…，2^n-1+2，…项，组成新数列b_n，试求数列b_n的通项b_n及前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x+2的图象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即数列a_n是以a₁=1为首项，2为公差的等差数列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意知：bn=a2n-1+2=2(2n-1+2)-1=2n+3，（8分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=n

i=1(2i+3)=n

i=12i+3n=2-2n+11-2+3n=2n+1+3n-2．（12分）

解析

n

i=1

考点

据考高分专家说，试题“数列an中，a1=1，且点（an，an+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。