函数f=12x2-mln1+2x+mx-2m，其中m＜0．试讨论函数f的单调性；已知当m≤-g2时，在x∈（-

题文

函数f（x）=12x²-mln1+2x+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知当m≤-g2（其中e是自然对数的底数）时，在x∈（-12，g-12]至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e+1成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：当m=-1时，对任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有f(x2)-f(x1)x2-x1＜13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）易知f（x）的定义域为x∈（-12，+∞）．
f′（x）=x-m1+2x+m=2 x2+(2m+1) x1+2x=2x(x+m+12)1+2x．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-12．
∵m＜0，∴-m-12∈（-12，+∞）．
∴（1）当-12≤m＜0时，则x∈（-12，-m-12）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m-12，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m＜-12时，则x∈（-12，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（0，-m-12）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m-12，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅱ）在x∈（-12，g-12]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g+1成立，
等价于当x∈（-12，g-12]时，f（x）_max＞g+1．
∵m≤-g2，∴g-12≤-m-12．
由（Ⅰ）知，x∈（-12，0]时，f（x）为增函数，x∈[0，g-12）时，f（x）为减函数．
∴在x∈（-12，g-12]时，f（x）_max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜-1-g2．
检验，上式满足m≤-g2，所以m＜-1-g2是所求范围．
（Ⅲ）当m=-1时，函数f（x）=12x²+ln1+2x-x+2．
构造辅助函数g（x）=f（x）-13x，并求导得g′（x）=x+11+2x-43=6x2-5x-13(1+2x)=(6x+1)(x-1)3(1+2x)
显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-13x₁＞f（x₂）-13x₂．
即f（x₂）-f（x₁）＜13（x₂-x₁）
即．又∵x₂-x₁＞0，∴f(x2)-f(x1) x2-x1＜13．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=12x2-mln1+2x+.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。