设二次函数f=ax2+bx+c满足条件：当x∈R时，f=f，且f≥x：当x∈时，

题文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤(x+12)2；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因f（x-4）=f（2-x），则函数的图象关于x=-1对称，∴-b2a=-1，b=2a，
由（3），x=-1时，y=0，即a-b+c=0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，
则f（1）=1，即a+b+c=1．又a-b+c=0，则b=12，a=14，c=14，故f（x）=14x²+12x+14．
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
取x=1，有f（t+1）≤1，即14（t+1）²+12（t+1）+14≤1，解得-4≤t≤0，
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有f（t+m）≤m，即14（t+m）²+12（t+m）+14≤m．
化简有：m²-2（1-t）m+（t²+2t+1）≤0，解得1-t--4t≤m≤1-t+-4t，
故m≤1-t--4t≤1-（-4）+-4(-4)=9
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，
恒有f（x-4）-x=14（x²-10x+9）=14（x-1）（x-9）≤0．
∴m的最大值为9．
∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-b2a=-1b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0
∴a=14b=12c=14
∴f（x）=14x2+12x+14…（5分）
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x
取x=1时，有f（t+1）≤1⇒14（t+1）²+12（t+1）+14≤1⇒-4≤t≤0
对固定的t∈[-4，0]，取x=m，有
f（t+m）≤m⇒14（t+m）²+12（t+m）+14≤m⇒m²-2（1-t）m+（t²+2t+1）≤0⇒1-t--4t≤m≤1-t+-4t…（10分）
∴m≤1-t+-4t≤1-(-4)+-4•(-4)=9 …（15分）
当t=-4时，对任意的x∈[1，9]，恒有
f（x-4）-x=14（x²-10x+9）=14（x-1）（x-9）≤0
∴m的最大值为9． …（20分）
另∵f（x-4）=f（2-x）
∴函数的图象关于x=-1对称
∴-b2a=-1b=2a
由③知当x=-1时，y=0，即a-b+c=0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）=1，即工+了+以=1，又a-b+c=0
∴a=14b=12c=14
∴f（x）=14x2+12x+14=14（x+1）² …（5分）
由f（x+t）=14（x+t+1）²≤x 在x∈[1，m]上恒成立
∴4[f（x+t）-x]=x²+2（t-1）x+（t+1）²≤0当x∈[1，m]时，恒成立
令 x=1有t²+4t≤0⇒-4≤t≤0
令x=m有t²+2（m+1）t+（m-1）²≤0当t∈[-4，0]时，恒有解 …（10分）
令t=-4得，m²-10m+9≤0⇒1≤m≤9 …（15分）
即当t=-4时，任取x∈[1，9]恒有
f（x-4）-x=14（x²-10x+9）=14（x-1）（x-9）≤0
∴m_max=9 …（20分）

解析

b2a

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。