如果对于函数f定义域内任意的x，都有f≥M，称M为f的下界，下界M中的最大值叫做f的下确界．定义在[1，e]上的函数f

题文

如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．定义在[1，e]上的函数f（x）=2x-1+lnx的下确界M=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），
∴函数f（x）定义域内任意的x，[f（x）]_min≥M
∵M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．
∴下确界是小于或等于函数f（x）在其定义域内的最小值的常数
对于f（x）=2x-1+lnx，求导数得：f'（x）=2+1x，其中x∈[1，e]
∵1x∈[1e，1]，
∴f'（x）≥2+1e＞0
∴f（x）在区间[1，e]上是增函数，故[f（x）]_min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴对任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函数的下界为小于或等于1的数，其中最大值为1，因此下确界M=1
故答案为：1

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。