设数列{an}，an≠0，a1=56，若以an-1，an为系数的二次方程：an-1x2+anx-1=0都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+

题文

设数列{a_n}，a_n≠0，a₁=56，若以a_n-1，a_n为系数的二次方程：a_n-1x²+a_nx-1=0（n≥2，n∈N^*）都有两个不同的根α，β满足3α-αβ+3β+1=0
（1）求证：{an-12}为等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式并求前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵3（α+β）-αβ+1=0，
∴依题意，得3anan-1-1an-1=1（n≥2），
∴3a_n-1=a_n-1（n≥2），
∴3（a_n-12）=a_n-1-12（n≥2），
∴{a_n-12}是公比为13，首项为56-12=13的等比数列；
（2）由（1）知，a_n-12=13•(13)n-1=(13)n，
∴a_n=12+(13)n，
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=（12+13）+（12+(13)2）+…+（12+(13)n）
=n2+13[1-(13)n]1-13
=n+12-12×3n．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}，an≠0，a1=56，若.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。