已知函数f=ax+b，当x∈[a1，b1]时，值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时，值域为[a3，b3]，…当x∈[an-1，bn-1]时，值域为

题文

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，值域为[a_n，b_n]，…其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；并求此时[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]；
（3）若a＞0，设数列{a_n}与{b_n}的前n项和分别为S_n和T_n，求（T₁+T₂+…+T₂₀₀₈）-（S₁+S₂+…+S₂₀₀₈）的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，f（x）=x+b单调递增，因此an=an-1+bbn=bn-1+b…..…．（3分）∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．…．（5分）
（2）∵a＞0，∴f（x）递增，∴b_n=ab_n-1+b，∵bnbn-1=a+bbn-1，由条件bnbn-1为常数，∴b=0，…．（7分）
这时{b_n}是公比为a的等比数列，b_n=a^n-1，∵b=0，a_n=aa_n-1，而a₁=0，∴a_n=0．∴[a₁，b₁]∪[a₂，b₂]∪…∪[a_n，b_n]=[0，1]∪[0，a]∪…∪[0，a^n-1]，…..（9分）
当0＜a＜1时，上式=[0，1]；…．…．（10分）
当a＞1时，上式=[0，a^n-1]．…．（11分）
（3）当a＞0时，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，∴b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），∴{b_n-a_n}成等比数列，b₁-a₁=1，∴b_n-a_n=a^n-1．…．（13分）
当a=1时，b_n-a_n=1，∴T_n-S_n=n，∴原式=1+2+…+2008=1004×2009=2017036．…．（15分）
当a≠1时，Tn-Sn=1-an1-a=11-a-an1-a，…..（16分）∴原式=20081-a-11-a•a(1-a2008)1-a=20081-a-a(1-a2008)(1-a)2．…．（18分）

解析

an=an-1+bbn=bn-1+b

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：