已知数列{an}中，a2=a，其前n项和Sn满足：Sn=n(an-a1)2(n∈N*)求数列{an}的通项公式；若a=2，且14am

题文

已知数列{a_n}中，a₂=a（a为非零常数），其前n项和S_n满足：S_n=n(an-a1)2(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=2，且14a_m²-S_n=11，求m、n的值；
（3）是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列{a_n}中满足a_n+b≤p的最大项恰为第3p-2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知，得a₁=S₁=1×(a1-a1)2=0，∴S_n=nan2，
则有S_n+1=(n+1)an+12，
∴2（S_n+1-S_n）=（n+1）a_n+1-na_n，即（n-1）a_n+1=na_n  n∈N*，
∴na_n+2=（n+1）a_n+1，
两式相减得，2a_n+1=a_n+2+a_n   n∈N*，
即a_n+1-a_n+1=a_n+1-a_n    n∈N*，
故数列{a_n}是等差数列．
又a₁=0，a₂=a，∴a_n=（n-1）a．
（2）若a=2，则a_n=2（n-1），∴S_n=n（n-1）．
由14a2m-Sn=11，得n²-n+11=（m-1）²，即4（m-1）²-（2n-1）²=43，
∴（2m+2n-3）（2m-2n-1）=43．
∵43是质数，2m+2n-3＞2m-2n-1，2m+2n-3＞0，
∴2m-2n-1=12m+2n-3=43，解得m=12，n=11．
（3）由a_n+b≤p，得a（n-1）+b≤p．
若a＜0，则n≥p-ba+1，不合题意，舍去；     
若a＞0，则n≤p-ba+1．∵不等式a_n+b≤p成立的最大正整数解为3p-2，
∴3p-2≤p-ba+1＜3p-1，
即2a-b＜（3a-1）p≤3a-b，对任意正整数p都成立．
∴3a-1=0，解得a=13，
此时，23-b＜0≤1-b，解得23＜b≤1．
故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=13，23＜b≤1．

解析

1×(a1-a1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a2=a（a为非零常.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：