已知数列{an}的前n项和Sn=10n-n2．求数列{an}的通项公式；求Sn的最大值；设bn=|an|，求数列{bn}的前

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求S_n的最大值；
（III）设b_n=|a_n|，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）当n=1时，a₁=s₁=9；-------------（1分）
当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n，-----（3分）
n=1 时，a₁=S₁=9 也适合上式
∴a_n=11-2n（n∈N^*）．-------------（4分）
（II）解法1：sn=10n-n2=-（n-5）²+25，-------------（6分）
所以，当n=5时，s_n取得最大值25．-------------（7分）
解法2：令a_n=11-2n≥0，得n≤112，
即此等差数列前5项为正数，从第6项起开始为负数，
所以，s₅最大，-------------（6分）
故（S_n）_max=s₅=25．-------------（7分）
（III） 令a_n=11-2n≥0，得n≤112．-------------（8分）
T_n=b₁+b₂+…+b_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
当n≤5时，a_n＞0，b_n=a_n，T_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=10n-n²，-------------（9分）
当n＞5 时，a_n＜0，b_n=-a_n，T_n=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）-（a₆+a₇+…a_n）=2S₅-S_n=n²-10n+50-------------（11分）
综上可知，数列{b_n}的前n项和Tn=10n-n2，n≤550-10n+n2，n＞5．-------（12分）

解析

112

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=10n-.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：