在等差数列{an}中，a1=1，a5=9，在数列{bn}中，b1=2，且bn=2bn-1-1，求数列{an}和{bn}的通项公式；设Tn=

题文

在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₅=9，在数列{b_n}中，b₁=2，且b_n=2b_n-1-1，（n≥2）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设Tn=a1b1-1+a2b2- 1+a3b3-1+…+anbn-1，求T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由等差数列的通项公式可得，d=a5-a15-1=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1     
 由b_n=2b_n-1-1可得b_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2）
∴{b_n-1}是以b₁-1=1为首项，2为公比的等比数列
∴b_n-1=2^n-1  
  故b_n=2^n-1+1
（2）Tn=a1b1-1+a2b2-1+…+anbn-1=2-120+2×2-122-1+…+2n-12n-1
=1+32+54+…+2n-32n-2+2n-12n-1         ①
则 12Tn=12+34+58+…+2n-32n-1+2n-12n ②
①-②可得12Tn=1+2(12+12 2+…+12 n-1)-2n-12n
=1+2×12[1-(12)n-1]1-12-2n-12n
=1+2-(12)n-2-(2n-1)(12)n
=3-(12)n[4+(2n-1)]=3-(2n+3)(12)n
所以Tn=6-2n+32n-1

解析

a5-a15-1

考点

据考高分专家说，试题“在等差数列{an}中，a1=1，a5=9.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：