已知等差数列{an}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{bn}满足nb1+b2+…+2bn-1+bn=Sn，其中Sn是首项为1，公比为89的

题文

已知等差数列{a_n}满足a₃+a₄=9，a₂+a₆=10；又数列{b_n}满足nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=S_n，其中S_n是首项为1，公比为89的等比数列的前n项和．
（1）求a_n的表达式；
（2）若c_n=-a_nb_n，试问数列{c_n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c_n≤c_k成立？并证明你的结论． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃+a₄=9，a₂+a₆=10，
∴a1+2d+a1+3d=9a1+d+a1+5d=10，解得a1=2d=1，
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
（2）∵S_n是首项为1，公比为89的等比数列的前n项和，
∴nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=(89)n-1+(89)n-2+…+89+1，①
（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+2b_n-2+b_n-1=(89)n-2+(89)n-3+…+89+1，②
①-②得b₁+b₂+…+b_n=(89)n-1，即Tn=b1+b2+…+bn=(89)n-1．
当n=1时，b₁=T_n=1，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=(89)n-1-(89)n-2=-19×(89)n-2．
∴bn=b1，当n=1时-19×(89)n-2，当n≥2时．．
于是c_n=-a_nb_n-2，当n=1时19×(89)n-2×(n+1)，当n≥2时．
设存在正整数k，使得对∀n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．
当n=1时，c2-c1=73，即c₂＞c₁．
当n≥2时，cn+1-cn=19×(89)n-1(n+2)-19×(89)n-2(n+1)
=19×(89)n-2[89(n+2)-(n+1)]=(89)n-2×7-n81．
∴当n＜7时，c_n+1＞c_n；
当n=7时，c₈=c₇；
当n＞7时，c_n+1＜c_n．
∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N^*，都有c_n≤c_k恒成立．

解析

a1+2d+a1+3d=9a1+d+a1+5d=10

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}满足a3+a4=9，.....”主要考查你对 [等差数列的通项公式 ]考点的理解。 等差数列的通项公式

等差数列的通项公式:

a_n=a₁+（n-1）d，n∈N*。
a_n=dn+a₁-d，d≠0时，是关于n的一次函数，斜率为公差d；
a_n=kn+b（k≠）

｛a_n｝为等差数列，反之不能。

对等差数列的通项公式的理解：

 ①从方程的观点来看，等差数列的通项公式中含有四个量，只要已知其中三个，即可求出另外一个．其中a₁和d是基本量，只要知道a₁和d即可求出等差数列的任一项；
②从函数的观点来看，在等差数列的通项公式中，。。是n的一次函数，其图象是直线y=dx+（a₁-d）上均匀排开的一列孤立点，我们知道两点确定一条直线，因此，给出一个等差数列的任意两项，等差数列就被唯一确定了，

等差数列公式的推导：

等差数列的通项公式可由

归纳得出，当然，等差数列的通项公式也可用累加法得到：