已知数列{an}中，a1=0，an+1=an•q+qn+1，bn=an+2n，n=1，2，3，…．求证数列{anqn}是等差数列；试比较

题文

已知数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0），b_n=a_n+2ⁿ，n=1，2，3，…．
（I）求证数列{anqn}是等差数列；
（II）试比较b₁b₃与b₂²的大小；
（III）求正整数k，使得对于任意的正整数n，bkbk+1≤bnbn+1恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0）
∴an+1qn+1=an•q+qn+1qn+1=anqn+1，又a1q=0，
即数列{anqn}是以0为首项，1为公差的等差数列（3分）
且anqn=n-1，a_n=（n-1）qⁿ（n=1，2，3）
（II）b_n=a_n+2ⁿ=（n-1）qⁿ+2ⁿ（4分）
∴b₁=2，b₂=q²+4，b₃=2q³+8（5分）
∴b₂²-b₁b₃=（q²+4）²-2（2q³+8）=（q⁴+8q²+16）-4q³-16=q⁴-4q³+8q²=q²（q²-4q+8）=q²[（q-2）²+4]＞0
∴b₂²＞b₁b₃（8分）
（III）∵b_n=（n-1）qⁿ+2ⁿ，n=1，2，3，…，∴b_n＞0
b₁=2，b₂=q²+4，b_n+1=nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹
bnbn+1-b1b2=b2bn-b1bn+1b2bn+1
又b₂b_n-b₁b_n+1=（q²+4）[（n-1）qⁿ+2ⁿ]-2（nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）
=[（q²+4）（n-1）-2nq]qⁿ+q²•2ⁿ
①当n=1时，b₂b_n-b₁b_n+1=0，即b1b2=bnbn+1
②当n≥2时，∵q＞0，q²+4≥2•q•2=4q
∴（q²+4）（n-1）-2nq≥4（n-1）q-2nq=2（n-2）q≥0又q²•2ⁿ＞0
∴b₂b_n-b₁b_n+1＞0
由①②得bnbn+1-b1b2=b2bn- b1bn+1b2bn+1≥0，即对于任意的正整数n，b1b2≤bnbn+1恒成立
故所求的正整数k=1．

解析

an+1qn+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=0，an+1=.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．