已知数列{an}，其前n项和为Sn，对任意n∈N*都有：Sn=man+1-m．求证：{an}是等比数列；若S3，S7，S5

题文

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有：S_n=ma_n+1-m（m∈R，m≠0且m≠1）．
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）若S₃，S₇，S₅，构成等差数列，求实数m的值；
（3）求证：对任意大于1的实数m，S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能构成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，a₁=S₁=ma₁+1-m，
又m≠0，且m≠1，故a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=ma_n-1+1-m，
故a_n=ma_n-ma_n-1，即（m-1）a_n=ma_n-1，
也即anan-1=mm-1≠0，
所以，{a_n}是以1为首项，mm-1为公比的等比数列；
（2）由S₃，S₇，S₅构成等差数列，知：2S₇=S₃+S₅，
即2（ma₇+1-m）=（ma₃+1-m）+（ma₅+1-m），又m≠0，化简得：2a₇=a₃+a₅，
令q=mm-1，则2q⁴-q²-1=0，得q²=1或q2=-12（舍），
即q=1（舍），q=-1，
由mm-1=-1，解得，m=12．
（3）假设S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，
S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n构成等差数列，
则2（S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n）=（S₁+S₂+S₃+…+S_n）+（S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n）
即2（ma_3n+1+m-1+ma_3n-2+m-1+…+ma_4n+m-1）
=（ma₁+m-1+ma₂+m-1+…+ma_n+m-1）+（ma_7n+1+m-1+ma_7n+2+m-1+…+ma_8n+m-1），
化简得2m（S_4n-S_3n）=mS_n+m（S_8n-S_7n），
又知(S4n-S3n)=q3nSn，(S8n-S7n)=q7nSn，
可得2q³ⁿS_n=q⁷ⁿS_n+S_n，（*）
而m＞1，所以q＞1，S_n＞0，
且1+q⁷ⁿ＞2q7n＞2q6n=2q³ⁿ，故（*）无解
所以假设错误，
故对任意大于1的实数m，
S₁+S₂+S₃+…+S_n，S_3n+1+S_3n+2+S_3n+3+…+S_4n，S_7n+1+S_7n+2+S_7n+3+…+S_8n不能构成等差数列．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}，其前n项和为Sn，对任.....”主要考查你对 [等差数列的定义及性质 ]考点的理解。 等差数列的定义及性质

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。

等差数列的性质：

（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N*，则a_m＝a_n+(m-n)d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a_s+a_t=a_p+a_q，其中a_s，a_t，a_p，a_q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a_s+a_t=2a_p；
（5）若数列｛a_n｝，｛b_n｝均是等差数列，则数列｛ma_n+kb_n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。
（6）




（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即




（8）

 仍为等差数列，公差为

 

对等差数列定义的理解：

①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． 
②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有

还有


③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列；
④

是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据；
⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a_n+1-a_n是一个与n无关的常数即可。

等差数列求解与证明的基本方法：

(1)学会运用函数与方程思想解题；
(2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键；
(3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a₁，d，n，a_n，S_n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．