已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．求椭圆的方程；设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足的点，且直线的斜率为．①求的值

题文

已知

是中心在坐标原点

的椭圆

的一个焦点，且椭圆

的离心率

为

．
（Ⅰ）求椭圆

的方程；
（Ⅱ）设：

、

为椭圆

上不同的点，直线

的斜率为

；

是满足

（

）的点，且直线

的斜率为

．
①求

的值；
②若

的坐标为

，求实数

的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

；（Ⅱ）①

；②实数

的取值范围是

.

解析

（Ⅰ）先根据题中的已知条件以及

、

、

三者之间的关系求出

、

、

的值，从而确定椭圆

的方程；（Ⅱ）①解法一是利用斜率公式先将

、

利用点

和

的坐标进行表示，然后借助点差法求出

的值；解法二是将直线

的方程假设出来，借助韦达定理与

这一条件确定

与

之间的关系，进而从相关等式中求出

的值；②先确定直线

的斜率，然后假设直线

的方程为

，利用韦达定理确定

与

之间的等量关系，再利用直线

与椭圆

有两个不同的公共点结合

确定实数

的取值范围，进而得到实数

的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）依题意，可设椭圆

的方程为

（

），      1分
由

，

，得

，
由

，可得

，      3分
故椭圆

的方程为

．      4分
（Ⅱ）解法一：①由

、

且

存在，得

，      5分
由

，

且

存在，得

，
则

.      6分
∵

，

在椭圆上，∴

，

，   7分
两式相减得

，

，
∴

．      8分
②若

的坐标为

，则

，由①可得

.
设直线

（

），
由

得

，      9分
所以

.
∵

，∴

，

.     10分
又由

，解得

，      11分
∴

且

．      12分
解法二：①设直线

（

），
若

，则


由

满足

（

，

），得

，
∵直线

的斜率

存在，∴

.     5分
由

得

  (*).     6分
∵

、

，∴

. 

   7分
∵

，

满足

，
∴直线

的斜率

，
经化简得

.     9分
②若

的坐标为

，则

，由①可得

.    10分
∴方程(*)可化为

，
下同解法一.

考点

据考高分专家说，试题“已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且.....”主要考查你对 [平面向量的应用 ]考点的理解。