设函数f=loga，g=loga1x-a，．若a=125，当x∈[125+2，125+3]时，求证：|f-

题文

设函数f（x）=log_a（x-3a），g（x）=log_a1x-a，（a＞0且a≠1）．
（1）若a=125，当x∈[125+2，125+3]时，求证：|f（x）-g（x）|＜1；
（2）当x∈[a+2，a+3]时，恒有|f（x）-g（x）|≤1，试确定a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

f（x）-g（x）=log_a（x-3a）（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²）
令h（x）=x²-4ax+3a²，则当0＜a＜1时，h（x）的对称轴x=2a＜a+2
故h（x）在[a+2，a+3]上单调递增，
∴h（x）_min=h（a+2）=4-4a，h（x）_max=h（a+3）=9-6a（6分）
（1）若a=125，则9625≤h(x)≤21925，
∴-1＜log12521925≤log125h(x)≤log1259625＜0，
∴|f（x）-g（x）|＜1（9分）
（2）由题意，x-3a＞0在[a+2，a+3]上恒成立，则a+2-3a＞0⇒a＜1
又a＞0且a≠1∴0＜a＜1（12分）loga(4-4a)≤1⇒a≤45loga(9-6a)≥-1⇒a≤9-5712或a≥9+5712（16分）
故0＜a≤9-5712（18分）

对数函数的图象与性质知识点讲解,巩固学习

解析

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