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什么是机械效率?

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利用机械工作时，对人们有用的功叫有用功，对人们没有用但又不得不额外做的功叫额外功，有用功与额外功之和称为总功，有用功与总功的比值叫做机械的机械效率。如果用 W _总表示总功，W _有用表示有用功，η表示机械效率，则Wη = _W^有用。总因为有用功总小于总功，所以机械效率总小于 1，通常用百分比表示，W即η = _W^有用 ×100%。如起重机的机械效率是40%～50%，滑轮组的机总械效率是 50%～70%，抽水机的机械效率是 60%～80%。机械效率的高低只反映机械做功时有用功占总功的比例大小，机械效率高只表示有用功占总功的百分比大，而与机械做功多少，做功快慢，省力与否，移动距离长短等均无关。有用功是机械克服有用阻力所做的功，常见的有两种情况：1.利用机械匀速提升重物时，物重为 G，被提升的高度为 h，则 W _有用=Gh。2.当利用机械匀速拉动物体沿水平平面移动时，克服摩擦所做的功即有用功，如物体受到的摩擦阻力为 f，物体沿水平平面移动的距离为 s，则 W _有用=fs。机械效率公式中的 W _总是机械克服有用阻力和无用阻力所做的功，等于作用在机械上的动力 F _实与动力作用点沿力的方向移动距离 s _实的乘积，即 W _总=F _实 s _实.额外功包括两部分：一部分是克服自身部件（例如滑轮组中的动滑轮）的重力所做的功；另一部分是克服机械本身摩擦等阻力所做的功。用例一： 利用公式求机械效率。题 1 用一个动滑轮把重为 400 牛的货物提高 2 米，所用的实际拉力为 250 牛，求有用功、总功和这个动滑轮的机械效率。当重物被提升 h=2 米时，绳子自由端移动的距离 s=2h=2×2 米=4 米，W _有用=Gh=400 牛×2 米=800 焦，W _总=Fs=250 牛×4 米=1000 焦，η = ^W_W^有用 ×100% = ₁₀₀₀⁸⁰⁰^焦_焦 ×100% = 80%。

总题 2 用图 1-122 所示的滑轮组提重物，第一次用 250 牛的拉力将 G=600 牛的重物匀速提高 2 米，求滑轮组的机械效率，第二次在 10 秒钟内将 G’=900 牛的重物匀速提高 1 米，求拉力的功率和这时滑轮组的机械效率
（摩擦力不计）。提升 600 牛重物时：W _有用=Gh=600 牛×2 米=1200 焦，W _总=FS=250 牛×3×2 米=1500 焦，W所以η = _W^有用 ×100%总= ¹²⁰⁰₁₅₀₀^焦_焦 ×100% = 80%。要想求出匀速提升 900 牛重物时拉力的功率和机械效率，必须先求出实际拉力 F’的大小，而 F’又与动滑轮重 G _动有关，所以，得利用第一次提

重物的数据，先求出G_动	。因不计摩擦，F =	G G	动	，得

		n
		n

G _动=nF-G=3×250 牛-600 牛=150 牛。或 W _额外=W _总-W _有用=1500 焦-1200 焦=300 焦，_G₌ ^W额外 ₌ 300焦 _{= 150}_牛。^动h2米求出 G _动后即可求出提升 900 牛重物时实际拉力 _F'= ^{G' G}动 ₌ 900牛 150牛 _{= 350}_牛。n 3而物体被提升 1 米时，动力作用点移动的距离 s’=3h’=3×1 米=3 米。所以，此时拉力的功率

P =	W	=	F's'	=		350牛 ´ 3米			= 105瓦，

	t		t			10秒
或P = Fv = 350					牛×		3米	=	105瓦。

							10秒

机械效率_η₌ ^W有用 ₌ G'h' _×_100% W_总 F'´3h'

= ⁹⁰⁰^牛 ^´ ¹^米 ×100% = 86%。350牛 ´ 3米显然由于增加了物重，滑轮组的机械效率较原来高。题 3 如图 1-123，用力 F 拉着重 2000 牛的物体 A 在水平平面上作匀速直线运动，重物移动的速度为 0.2 米/秒，F=40 牛，求：（1）物体与地面之间的摩擦力（动滑轮重和滑轮转动时的摩擦不计）。（2）拉力的功率多大？（3）若实际拉绳子的力为 80 牛，则滑轮组的机械效率为多大？（1）因为匀速，所以 f=2F=2×40 牛=80 牛，（2）人拉绳子的速度v=2v _物=2×0.2 米/秒=0.4 米/秒，所以功率 P=Fv=80 牛×0.4 米/秒=32 瓦。
（3）设物体移动的距离为 s_A，则绳子自由端移动的距离 s _实=2s_A，所以 W _有用=fs_A，W _总=F _实 S _实=F·2s_A，即η = ^W^有用 ×100% = ^fs^A ×100%，W_总F_实 2s_A

f 80牛= _2F_实 ×100% = ₂ _´ ₈₀_牛 ×100% = 50%。题 4 工人把一块木板搁在高 1 米的汽车厢边上形成一斜面，木板长 4 米，如不计摩擦，要把一个重 900 牛的货物箱沿斜面方向匀速拉到车上，拉力要多大？若实际拉力是 250 牛，那么工人做的有用功、总功各为多大？

这个斜面的机械效率、货箱与斜面之间的摩擦力各为多少？h 1米不计摩擦时，F = _L G = ₄_米 ×900牛 = 225牛；沿斜面把物体拉上顶端所做的有用功：W _有用=Gh=900 牛×1 米=900 焦；总功 W _总=F _实 L=250 牛×4 米=1000 焦；斜面的机械效率η = ^W_W^有用 ×100% = ₁₀₀₀⁹⁰⁰^焦_焦 ×100% = 90%。

总由于人沿斜面拉物时对物体的实际拉力等于不计摩擦时的拉力与摩擦力之和，所以货箱与斜面之间的摩擦力f=F _实-F=250 牛-225 牛=25 牛。求摩擦力的另一种方法是根据总功和有用功求出 W _额外=W _总-W _有用=1000 焦-900 焦=100 焦，因为利用斜面工作时，额外功就是克服摩擦所做的功，即 W _额外=fL，所以，_{f =} ^W额外 ₌ 1000焦 _{= 25}_牛。L 4米题 5 图 1-124（a）中，利用滑轮组匀速提升重物，已知物重 G=90 牛，定滑轮、动滑轮重相同，弹簧秤示数为 120 牛，不计摩擦，求拉力 F 的大小和滑轮组的机械效率各为多少？设实际拉力为 F，定滑轮、动滑轮重为 G _轮，定滑轮受力情况如图 1-

124（b）所示。
ìT = 2F G_轮		ì120 = 2F G_轮
ï	G G _轮	ï	90 G_轮
í	G G _轮	即 í	90 G_轮
ïF =		ïF =
ïF =	n	ïF =	3
î	n	î	3

由此二元一次方程解得 F=42 牛，设重物上升距离为 h，则：W _有用=Gh，W _总=Fs=3Fh
所以η = ^W^有用 ×100% = ^Gh ×100%

W_总 3Fh= _126h^90h ×100% = 71%。题 6 图示 1-125 中，斜面长 5 米，高 2 米，通过一个动滑轮将一个重 450 牛的物体沿斜面从底端匀速拉到顶端。如斜面的机械效率为 60%，滑轮的机械效率为 80%，求拉力 F 的大小和整个装置的机械效率。

先考虑斜面作用，
h =	Gh	，F =	Gh	=	450牛 ´ 2	= 300牛，
h =	F L	，F =	h L	=	0.6´ 5米	= 300牛，
1	F L	1	h L		0.6´ 5米
	1		1

这个力就是滑轮沿斜面对物体的拉力，也等于物体作用在滑轮上的有用阻力 F’，F’=F₁。

再考虑滑轮作用，

η₂ =

F'L

，即F =

F'L

450牛 ´ 2米

= 187.5牛，

F2L

η₂ · 2L

2η ₂

0.6 ´ 5米

这个力就是作用在绳子自由端的实际拉力。

整个装置的机械效率

η =

450牛 ´ 2米

= 48%。

F · 2L

187.5牛 ´ 2 ´ 5米

实际上，η =

，而如前所述，

2LF

F =

，F'= F =

，代入前式，得：η = η

，即组合机

2h₂

h₁L

械的机械效率等于单个机械的机械效率的乘积。用例二： 比较机械效率的高低。题 7 图 1-126 中，每个滑轮重都相等，绳重及摩擦不计。在力 F₁、F₂、F₃ 的作用下，物体被匀速提升，它们的机械效率分别为η₁、η₂、η₃，则（）A．η₁＞η₂＞η₃ B．η₁＜η₂＜η₃C．η₂＞η₁＞η₃ D．η₃＞η₁＞η₂本题要比较三个滑轮组的机械效率，在不计绳重、摩擦，每个滑轮重相等的情况下，影响机械效率高低的主要因素是自身结构（动滑轮个数）和物重的大小，设动滑轮总重为 G _动，在拉力作用下物体被提升的高度为h，则：

η =

^W有用

G_物 h

G _物

，

物

h G

动

物

动

总

动

G_物

由此可知，（1）在物重 G _物相同的情况下，G _动越大，G _动/G _物的比值越大，机械效率越低；（2）在机械结构相同的情况下（即动滑轮个数相同，G _动相等），增加物重，G _动/G _物比值减小，机械效率将提高。在这道题中，甲、乙滑轮组，物重相同，均为 G，但由于乙滑轮组有
两个动滑轮，G _动较大，效率较低，所以η₁＞η₂。而丙滑轮组与甲相同，但物重为 2G，因而效率较甲高，所以η₃＞η₁，故η₃＞η₁＞η₂，所以答案应选 D。从本题的解答还可以推想：利用同一滑轮组匀速提升浸在水中的物体时，只要物体提离水面，其机械效率即变高。而用同一滑轮组在密度较大的海水中提升同一重物时，其效率一定比在淡水中时低。题 8 如图 1-127 所示，利用两个滑轮组匀速提升重物，甲中拉力和物重为 F₁、G₁，乙中拉力和物重为 F₂、G₂，已知 F₁∶F₂=3∶4，G₁∶G₂=2∶ 3，问哪个滑轮组的机械效率高？如甲滑轮组的机械效率η_甲=80%，则乙滑轮组的机械效率为多大？要比较它们机械效率的高低，可设法求出其比值．设 G₁、G₂ 被提升的高度均为 h，则甲滑轮组绳子自由端移动的距离 s₁=2h，乙滑轮组绳子自由端移动的距离 s₁=3h。Gh由η = _Fs 得^h^甲 ₌ ^G1 _× ^h _× ^F2 _× ^s2h_乙 G₂ h F₁ s₁

=	2	×	1	×	4	×	3

	3		1		3		2
	3		1		3		2
=	4	。
=	3	。
	3

即η _甲＞η _乙，当η _甲 = 80%时，3η _乙 = η _甲 × ₄ ＝60%。题 9 用图 1-128 所示的甲、乙两个滑轮组提升重物，已知物重 G₁ 与 G₂ 之比为 2∶1，甲滑轮组中的一个动滑轮重 G_A 与物重 G₁ 之比为 1∶5。而乙滑轮组中两个动滑轮的总重 G_B 与物重 G₂ 之比为 3∶5。不计绳重和摩擦，求甲、乙两滑轮组的机械效率之比为多大？动力 F₁ 与 F₂ 之比为多少？_{对于甲滑轮组，} ^G^A ₌ ¹ _即_G1 _{= 5G} A _，G₁ 5F = ^G¹ ^G ^A = 2G ，₁ 3 _A当重物G₁ 上升 h时，绳子自由端移动s₁ = 3h，所以甲组的机械效率

^W有用

η =

。

W_总

F₁s₁

2G _A ´ 3h

甲

_{对于乙滑轮组，} ^G^B ₌ ³ _，即 _GB _{= 0.6G}2 _，G₂ 5F = ^G² ^G ^B = 0.4G ，₂ 4 ₂当重物 G₂ 上升 h 时，绳子自由端移动 s₂=4h，所以乙组的机械效率

^W有用

η =

。

W_总

F₂s₂

0.4G₂ ´ 4h

1.6

乙

故 ^h_h^甲 = ⁵₆ ×1.6 = ⁴₃ ；乙由于 ^G¹ = ² ，则G = 0.5G = 2.5G ，G₂ 1 ₂ ₁ _A_故^F1 ₌ ^2GA ₌ ^2GA ₌ ² _。 F₂ 0.4G₂ G_A 1

^W有用用例三： 利用公式η= _W_总求解有关物理量。题 10 一工人利用图 1-129 所示滑轮组把重物匀速提高了 2 米，物重为 600 牛，已知该滑轮组机械效率为 75%，在拉动绳子的过程中，克服摩擦做了 250 焦的功，求人的实际拉力和动滑轮自重。

由η =		Gh			，得实际拉力
由η =		Fs			，得实际拉力
		Fs
F =	Gh	=		600		牛 ´ 2米	= 200牛。

	hs		0.75			´ 4 ´ 2米

W _总=Fs=200 牛×4×2 米=1600 焦，w _有用=Gh=600 牛×2 米=1200 焦，所以 W _额外=W _总-W _有用=1600 焦-1200 焦=400 焦。或 W _额外=（1-η）W _总=（1-75%）×1600 焦=400 焦。由于额外功等于克服摩擦所做的功 W_f 与提升动滑轮所做的功 W_G 之和，所以提升动滑轮所做的功W_G=W _额外-W_f=400 焦-25O 焦=150 焦，

力为 125 牛，拉力的功率为 50 瓦，滑轮组的机械效率为 80％，不计摩擦和绳重，求重物上升的速度。要求重物上升的速度，应先通过拉力的功率和拉力求出绳子自由端移动的速度，然后再除以绳子的股数，而绳子的股数则可以利用机械效率公

式求出。

由 P=Fv 求出绳子自由端移动的速度：

v =

50瓦

= 0.4米 / 秒，

125牛

根据η =

得n =

400牛

= 4股，则重物

Fnh

08.´ 125牛

上升速度v'=

0.4米 / 秒

= 0.1米 / 秒。

题 12 图 1-130 所示的滑轮组在空气中提升重物时的机械效率η=50
％，用力 F₁=60 牛可使物体匀速上升。当物体浸没在水中时，只要加 F₂=50 牛即可以使同一物体匀速上升，不计摩擦。求物重 G、物体受到的浮力和物体的密度。这是一道机械效率与浮力、密度的综合题，解答时要进行综合分析，先求出物重，然后再求浮力和密度。Gh由η = _Fs 得_{G =} ^h^F1^s ₌ ^0.5 ^´ ⁶⁰^牛 ^´ ^3h _{= 90}_{牛。因不计摩擦，}h h^{G G}^动所以F = ，则：G _动=nF₁-G=3×60 牛-90 牛=90 牛。^{G G}^动 ^-^F^浮_{浸没在水中时，拉力}_F2 ₌ _，F _浮=G-nF₂ G _动=90 牛-3×50 牛 90 牛=30 牛。

而F = ρ

gV = ρ

= ρ

，

水 _r

浮

水

排

水

物

所以ρ

r_水 G

1´ 10³ 千克 / 米 ³

´ 90牛

物

F_浮

30牛

= 3×10³ 千克 / 米 ³ 。^W有用这时如关注一下物体浸没在水中时滑轮组的机械效率η'= _W_总₌^{(G - F}浮 ^{) h} ₌ (90牛 - 30牛) _{= 40%}_{＜η，原因当然是由于浸没在水}F₂S50牛 ´ 3h中时相当于减小了物重，因而使效率降低。题 13 如图 1-131 所示，将同一物体举高相同高度，使用滑轮组时的机械效率与使用斜面时的机械效率之比为 8∶7，求使用这两种机械时的实际拉力 F₁ 和 F₂ 之比。对于滑轮组，设重物上升h，则绳子自由端移动的距离为s = 3h，η₁

=	Gh	=	Gh	=	G	,则F =	G	；
=	F s	=	F ´ 3h	=	3F	,则F =	3h	；
	F s		F ´ 3h		3F	1	3h
	1		1		1		1

对于斜面，设斜面长为 L，高为 h，则 h=Lsin30°，

					GLsin30°	1		G
			Gh			=			，
η		=	Gh	=		=	2		，
	2		F₂ L		F₂ L		F₂
			F₂ L		F₂ L		F₂

1 _G^则^F2 ^{= 2}_h₂ ^；

所以

F₁

h₂

2h₂

。

F₂

3h₁

用滑轮组匀速提升重为 400 牛的物体，作用在绳子自由端的拉